Question

如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：y=-2x-8与y轴交于P．
（1）求证：PC是⊙D的切线；
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOP=4S_△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当直线PC绕点P转动时，与劣弧AC交于点F（不与A、C重合），连接OF，设PF=m，OF=n，求m、n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．

Answer 1

（1）证明：直线y=与x轴、y轴分别交于点C、P，
∴C（，0），P（0，-8），
∴cot∠OCD=，cot∠OPC=，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切线；

（2）解：设直线PC上存在一点E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，
×8×|x|=4××1×2，
解得x=±，由y=-2x-8可知：
当x=时，y=-12，
当x=-时，y=-4，
∴在直线PC上存在点E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

（3）解法一：
作直线PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，连接DQ，
由切割线定理得：PC²=PF•PQ①，
在△CPD和△OPC中，
∵∠PCD=∠POC=90°，∠CPD=∠OPC，
∴△CPD∽△OPC，
∴，
即PC²=PO•PD②，
由①、②得：PO•PD=PF•PQ，
又∵∠FPO=∠DPQ，
∴△FPO∽△DPQ，即，
∴m=3n（2＜n＜）．
解法二：作直线PF交劣弧AC于F，
设F（x，y），作FM⊥y轴，M为垂足，连接OF，
∵m²-（-8-y）²=x²，
n²-y²=x²，
∴m²-64-16y-y²=n²-y²，
即m²-64-16y=n²①，
又∵3²-（1-y）²=x²，
∴3²-（1-y）²=n²-y²，
解得y=②，
将②代入①，解得：m=3n，m=-3n（舍），
∴m=3n（2＜n＜）．
分析：（1）先求得C（，0），P（0，-8），根据cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，即PC是⊙D的切线；
（2）设直线PC上存在一点E（x，y），使S_△EOP=4S_△CDO×8×|x|，解得x=±，由y=-2x-8可知：当x=时，y=-12，当x=-时，y=-4，所以在直线PC上存在点E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；
（3）作直线PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，连接DQ，由切割线定理得：PC²=PF•PQ①，易证△CPD∽△OPC，，即PC²=PO•PD，可知PO•PD=PF•PQ，∠FPO=∠DPQ，从而证明△FPO∽△DPQ，即，即m=3n（2＜n＜）．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．