Question

如图1，抛物线经过A（-1，0），C（3，-2）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线（）将四边形ABCD面积二等分，求的值；
（3）如图2，过点E（1，1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点P旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，求点N和点P的坐标？

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) （1，－3），（1，－1）．

试题分析：把A、C两点坐标代入即可求出a、b的值，从而确定抛物线的解析式.
（1）∵抛物线经过A（-1，0），C（3，-2），
∴，解之得：，
∴所求抛物线的解析式为：；
（2）令，解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
令x=0，可得：y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四边形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），∴取DC中点E，则E的坐标是（，-2），
过E作EF⊥AB于F，取EF的中点G，则G的坐标是（，-1），
则过G的直线（直线与AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面积二等份，
把G的坐标代入y=kx+1，得：，
∴； 

（3）设Q（m，n），则M（m＋2，n），N（m，n－1），
代入，得：，解之，得：，
∴Q（1，-2），M（3，－2），N（1，－3），
又Q的对应点为F（1，0），
∴QF的中点为旋转中心P，且P（1，－1），
∴点N、P的坐标分别为：（1，－3），（1，－1）．