Question

21、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠AOD，
而∠BOC=a=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（2）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．