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    （2013•宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

    （1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A
    （t，4）
    （t，4）
    ，k=
    4
    t
    （k＞0）
    4
    t
    （k＞0）
    ；
    （2）随着三角板的滑动，当a=
    1
    4
    时：
    ①请你验证：抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=-
    1
    4
    x2    的图象上；
    ②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
    （3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2-y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2-y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
    分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；
    （2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=-
    1
    4
    x2    ，若该点满足函数解析式y=-
    1
    4
    x2    ，即表示该顶点在函数y=-
    1
    4
    x2    图象上；反之，该顶点不在函数y=-
    1
    4
    x2    图象上；
    ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=
    1
    4
    x（x-t）即可求得t=2；
    （3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是
    4
    at
    +4．则t+4=
    4
    at
    +4，由此可以求得a与t的关系式．
    解答：解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，
    ∴点A的坐标是（t，4）．
    又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），
    ∴4=kt，则k=
    4
    t
    （k＞0）．

    （2）①当a=
    1
    4
    时，y1=
    1
    4
    x（x-t），其顶点坐标为（
    t
    2
    ，-
    t2
    16
    ）．
    对于y=-
    1
    4
    x2    来说，当x=
    t
    2
    时，y=-
    1
    4
    ×
    t2
    4
    =-
    t2
    16
    ，即点（
    t
    2
    ，-
    t2
    16
    ）在抛物线y=-
    1
    4
    x2    上．
    故当a=
    1
    4
    时，抛物线y1=ax（x-t）的顶点在函数y=-
    1
    4
    x2    的图象上；

    ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．
    ∵AC⊥x轴，
    ∴AC∥EK．
    ∵点E是线段AB的中点，
    ∴K为BC的中点，
    ∴EK是△ACB的中位线，
    ∴EK=
    1
    2
    AC=2，CK=
    1
    2
    BC=2，
    ∴E（t+2，2）．
    ∵点E在抛物线y1=
    1
    4
    x（x-t）上，
    ∴
    1
    4
    （t+2）（t+2-t）=2，
    解得t=2．

    （3）如图2，
    y=
    4
    t
    x
    y=ax(x-t)
    ，则
    4
    t
    x=ax（x-t），
    解得x=
    4
    at
    +t，或x=0（不合题意，舍去）．．
    故点D的横坐标是
    4
    at
    +t．
    当x=
    4
    at
    +t时，|y2-y1|=0，由题意得t+4=
    4
    at
    +t，
    解得a=
    1
    t
    （t≥4）．
    点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．
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