Question

15．如图，函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上一点P的横坐标是4，过点P作直线l交x轴于点A，交y轴负半轴于点B，且OA=OB．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）过点P作直线l的垂线l₁，交函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象于点C，求△OPC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出P点的坐标，过P作PE⊥y轴于E，求出PE=4，OE=1，PE=EB=4，求出B的坐标，设直线l的解析式为y=ax+c，把B、P的坐标代入，即可求出答案；
（2）设直线PC交y轴于F，求出F的坐标，求出直线l₁的解析式，求出C的坐标，根据各个点的坐标求出面积即可．

解答 解：（1）∵函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上一点P的横坐标是4，
∴点P的坐标为（4，1），

过P作PE⊥y轴于E，
则PE=4，OE=1，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠EBA=∠OAB=45°=∠EPB，
∴PE=EB=4，
∴OB=3，OA=3，
∴B的坐标为（0，-3），
设直线l的解析式为y=ax+c，
把B、P的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，c=-3，
∴直线l的函数解析式为y=x-3；

（2）设直线PC交y轴于F，
∵l₁⊥l，∠OBA=45°，
∴∠EFP=45°，
∴EF=PE=4，
∴OF=4+1=5，
∴F的坐标为（0，5），
设直线l₁的解析式为y=ex+f，
把P和F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4e+f=1}\\{f=5}\end{array}\right.$，
解得：e=-1，f=5，
∴直线l₁的解析式为y=-x+5，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即C的坐标为（1，4），
∵F（0，5），C（1，4），P（4，1），B（0，-3），
∴△OPC的面积S=S_△FPB-S_△FCO-S_△POB=$\frac{1}{2}$×（5+3）×4-$\frac{1}{2}×5×1$-$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积等知识点，能求出直线l₁和直线l的解析式是解此题的关键．