Question

4．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，取BC的中点P．当点B从点O向x轴正半轴移动到点M（2，0）时，则点P移动的路线长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，根据△AEP≌△BDP（AAS），得出PE=PD，进而得到点P的运动路径是∠AOM的角平分线，再分别求得当点B与点O重合时，OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，当点B与点M重合时，OP=$\sqrt{2}$OD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，进而得到点P移动的路线长．

解答 解：如图所示，过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，则∠DPE=90°，∠AEP=∠BDP=90°，
连接AP，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC=BP，且AP⊥BC，即∠APB=90°，
∴∠APE=∠BPD，
在△AEP和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BDP}\\{∠APE=∠BPD}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△BDP（AAS），
∴PE=PD，
∴点P的运动路径是∠AOM的角平分线，
如图所示，当点B与点O重合时，AB=AO=1，OC=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$；

如图所示，当点B与点M重合时，过P作PD⊥x轴于D，作PE⊥y轴于E，连接OP，

由△AEP≌△BDP，可得AE=BD，
设AE=BD=x，则OE=1+x，OD=2-x，
∵矩形ODPE中，PE=PD，
∴四边形ODPE是正方形，
∴OD=OE，即2-x=1+x，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴等腰Rt△OPD中，OP=$\sqrt{2}$OD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴当点B从点O向x轴正半轴移动到点M时，则点P移动的路线长为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，得出点P的运动路径是∠AOM的角平分线．