Question

10．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，3），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为12；
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；
（3）利用三角形面积公式由S_△BOP=S_△DOP，PB=PD，即点P为BD的中点，则可确定B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，8），然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．

解答 解：（1）作PE⊥y轴于E，
∵P的横坐标是2，则PE=2．
∴S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）∴S_△AOC=S_△AOP-S_△COP=12-3=9，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=9，即$\frac{1}{2}$×OA×3=9，
∴OA=6，
∴A的坐标是（-6，0）．
设直线AP的解析式是y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
则直线AP的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+3．
当x=2时，y=4，即p=4；

（3）∵S_△BOP=S_△DOP，
∴PB=PD，即点P为BD的中点，
∴B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，8），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（4，0），D（0，8）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=8}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+8．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题，三角形的面积与待定系数求一次函数解析式的综合应用，正确求得A的坐标是关键．