Question

17．如图矩形ABCD中，AB=12，BC=8，E丶F分别为AB、CD的中点，点P、Q从A、C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D丶B运动，运动时间为t（0＜t＜8）．
（1）如图1，连接PE、EQ、QF、PF，求证：无论t在0＜t＜8内取任何值，四边形PEQF总为平行四边形；
（2）如图2，连接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；
（3）在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ⊥CE于G？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出结论；
（2）根据题意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，证出EH是梯形ABQP的中位线，由梯形中位线定理得出EH=$\frac{1}{2}$（AP+BQ）=4，证出GH：GQ=3：2，由平行线得出△EGH∽△CGQ，得出对应边成比例$\frac{EH}{CQ}=\frac{GH}{GQ}$=$\frac{3}{2}$，即可得出t的值；
（3）由勾股定理求出CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，证出△GCQ∽△BCE，得出对应边成比例求出CG=$\frac{4}{5}$t，得出EG=10-$\frac{4}{5}$t，由平行线证明△GME∽△GQC，得出对应边成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E丶F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=6，DF=CF=6，
∴AE=BE=DF=CF，
∵点P、Q从A、C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D丶B运动，
∴AP=CQ=t，
在△APE和△CQF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CQF（SAS），
∴PE=QF，
同理：PF=QE，
∴四边形PEQF总为平行四边形；

（2）解：根据题意得：AP=CQ=t，
∴PD=QB=8-t，
作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如图2所示：
则F为CD的中点，H为PQ的中点，EF=BC=8，
∴EH是梯形ABQP的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$（AP+BQ）=4，
∵PG=4QG，
∴GH：GQ=3：2，
∵EF∥BC，
∴△EGH∽△CGQ，
∴$\frac{EH}{CQ}=\frac{GH}{GQ}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{4}{t}=\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴若PG=4QG，t的为$\frac{8}{3}$值；

（3）解：不存在，理由如下：
∵∠B=90°，BE=6，BC=8，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
作EM∥BC交PQ于M，如图3所示：
由（2）得：ME=4，
∵PQ⊥CE，
∴∠CGQ=90°=∠B，
∵∠GCQ=∠BCE，
∴△GCQ∽△BCE，
∴$\frac{CG}{CQ}=\frac{CB}{CE}$，即$\frac{CG}{t}=\frac{8}{10}$，
∴CG=$\frac{4}{5}$t，
∴EG=10-$\frac{4}{5}$t，
∵EM∥BC，
∴△GME∽△GQC，
∴$\frac{EM}{CQ}=\frac{EG}{CG}$，即$\frac{4}{t}=\frac{10-\frac{4}{5}t}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=0或t=8.5，
∵0＜t＜8，
∴不存在．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、梯形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．