Question

如图，AB为⊙O的直径，

BC

=

CD

，过点C的直线CE和AD的延长线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：直线CE与⊙O相切；
（2）过点O作OF⊥AC，垂足为F，若OF=2，OA=4，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）如图，连接OC，由

BC

=

CD

得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定得到AE∥CO，而AE⊥CE，由此得到OC⊥CE，最后利用切线的判定定理即可证明CE为⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求得AF，即可求得AC，通过解直角三角形求得∠OAF=30°，∠EAC=30°，解直角三角形即可求得AE的长．

解答：（1）证明：如图，连接OC
∵

BC

=

CD

，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CE为⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OFA中，AF=

OA2-OF2

=2

3

，sin∠OAF=

OF

OA

=

1

2

，
∴∠OAF=30°，
∴∠EAC=30°，
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF=4

3

，
在Rt△CEA中，AE=AC•cos30°=6．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理及勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定和性质以及解直角三角形的方法是解题的关键．