Question

如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①MN∥AB；②=+；③MN=AB．其中正确结论的个数是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
解答：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴=①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴=②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴=
∴MN∥AB，故本小题正确；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴=，
设==k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴===，==，
∴+=1，
∴=+，故本小题正确；
（3）∵=+，
∴MN==，
设AB=a（常数），AC=x，则MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a，故本小题错误．
故选C．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用．