Question

14．己知D、E、F分别为△ABC三边的中点．
（1）如图1，AF与DE交于点M，求证：M为DE的中点；
（2）如图2，P为EF的中点，延长AP、DF交于点Q，求证：CP∥BQ；
（3）如图3，若P不是EF的中点，（2）中的结论是否仍然成立？写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）连接DF，EF，根据三角形中位线定理，得出DF∥AE，EF∥AD，即可判定四边形ADFE是平行四边形，进而得出DE与AF互相平分，从而得出结论；
（2）延长EF交BQ于G，根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，即可得出PF=GF，进而判定△CPF≌△BGF（SAS），得出∠PCF=∠GBF，最后根据平行线的判定，得出CP∥BQ；
（3）延长EF交BQ于G，根据三角形中位线得出PG∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，得到$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$，再根据AD=BD，即可得到PF=GF，最后判定△CPF≌△BGF（SAS），得出∠PCF=∠GBF，即可得到CP∥BQ．

解答 解：（1）如图1，连接DF，EF，
∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DF，EF都是△ABC 的中位线，
∴DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴DE与AF互相平分，
∴M为DE的中点；

（2）证明：如图2，延长EF交BQ于G，
由（1）可得EF是△ABC 的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=BD，
又∵P是EF的中点，
∴PF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EG∥AB，
∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴GF=$\frac{1}{2}$BD，
又∵BD=AD，
∴PF=GF，
在△CPF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=GF}\\{∠PFC=∠GFB}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△BGF（SAS），
∴∠PCF=∠GBF，
∴CP∥BQ；

（3）CP∥BQ仍成立．
证明：如图3，延长EF交BQ于G，
由（1）可得，EF是△ABC 的中位线，
∴EF∥AB，即PG∥AB，
∴$\frac{PF}{AD}$=$\frac{QF}{QD}$=$\frac{GF}{BD}$，
又∵AD=BD，
∴PF=GF，
在△CPF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=GF}\\{∠PFC=∠GFB}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△BGF（SAS），
∴∠PCF=∠GBF，
∴CP∥BQ．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造平行四边形以及全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导．解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．