Question

如图所示，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD=9cm，DE=6cm，求BE及EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∠ACB=90°，
∴∠E=∠ADC=90°，∠BCE=90°-∠ACD，∠CAD=90°-∠ACD，
∴∠BCE=∠CAD
在△BCE与△CAD中，
∠E=∠ADC，∠BCE=∠CAD，BC=AC
∴△CEB≌△ADC（AAS）

（2）解：∵△CEB≌△ADC，
∴BE=DC，CE=AD，
又∵AD=9
∴CE=AD=9，DC=CE-DE=9-6=3，
∴BE=DC=3（cm），
∵∠E=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，
∴△BFE∽△AFD，
∴，即有
解得：EF=（cm）．
∴BE=3cm，EF=cm．
分析：（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠CAD，而BC=AC，∠E=∠CDA=90°，故有△CEB≌△ADC；
（2）由（1）知BE=DC，CE=AD，有CE=AD=9，DC=CE-DE=3，BE=DC=3，可证得△BFE∽△AFD，有故可求得EF的值．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质．