Question

在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．

（1）如图1，若AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；
（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB
∵OA=OB，
∴AC=CB=12，
∵⊙O的直径为10，∴OC=5，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA==13；

（2）过O作OF⊥AB于F，延长AO交⊙O于G，根据垂径定理得：DF=EF，
∵OA=OB，
∴AF=BF=12，
∵且D、E均为AB的三等分点，∴AD=DE=EB=2DF=8，
∴DF=4，AF=12，
根据切割线定理得：AH•AG=AD•AE，即（AO-r）（AO+r）=AD•AE
即AO²-5²=8×16，
解得：AO²=153，又AF=12，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：，
∴tanA=．
分析：（1）连接OC，由AB为圆O切线，得到OC垂直于AB，又OA=OB，根据等腰三角形的“三线合一”得到AC等于BC都等于AB的一半，由AB的长，求出AC与BC的长，再由直径的长，求出半径OC的长，在直角三角形AOC中，由AC和OC的长，利用勾股定理求出OA的长即可；
（2）过O作OF垂直于AB，由OA=OB，根据等腰三角形的“三线合一”得到AF=BF，又根据垂径定理得到DF=EF，再根据D与E为AB的三等分点，由AB的长求出AD与DE的长，进而求出DF的长，利用切割线定理得到AD•AE=AH•AG，由AH=AO-r，AG=AO+r，根据r，AD及AE的长，即可列出关于OA的方程，求出OA²的长，在直角三角形AOF中，根据勾股定理即可求出OF的长，根据正切函数的定义，求出OF与AF的比值即为tanA的值．
点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，切割线定理及勾股定理．遇到切线，连接圆心与切点是常常连接的辅助线，构造直角三角形来解决问题．同时要求学生掌握等腰三角形的“三线合一”性质，以及锐角三角形函数的定义．连出相应的辅助线是解本题的关键．