Question

如图，两个矩形如图（1）摆放，其中矩形ABCD的长a、宽b满足

a-3- 3

+|b-

3

-1|=0，且另一矩形AEFG的宽AG和对角线FA长是方程x²-3x+2=0的两根
（1）分别求两个矩形的长、宽；
（2）求证△ABC∽△AGF；
（3）将图（1）中矩形AEFG绕A点逆时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到图（2），连FC，M为FC中点，连EM、DM，问DM与EM有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据非负数的性质可以得出

a-3- 3

=0，|b-

3

-1|=0，就可以求出a、b的值，再通过解一元二次方程x²-3x+2=0求出其根就可以得出AG和对角线FA的值，由勾股定理就可以求出结论；
（2）由四边形AEFG和四边形ABCD是矩形可以得出∠G=∠B=90°，再由（1）的结论可以求出

AB

AG

=

BC

GF

，就可以求得△ABC∽△AGF；
（3）延长EM到N，使MN=ME，连接CN并延长交AB于H，连接DE、DN，根据条件可以得出△EFM≌△NCM，可以得出∠EFM=∠NCM，可以得出EF∥CN，运用条件可以证明△EAD∽△NCD，可以得出∠ADE=∠CDN，可以得出∠EDN=90°，根据直角三角形的性质就可以得出EM=DM．

解答：解：（1）∵

a-3- 3

+|b-

3

-1|=0，
∴

a-3- 3

=0，|b-

3

-1|=0，
∴a=3+

3

，b=

3

+1
∴BC=3+

3

，AB=

3

+1．
∵x²-3x+2=0的根为：
x₁=1，x₂=2，
∴AG=1，FA=2．
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
FG=

3

．
∴矩形ABCD的长为3+

3

，宽为

3

+1，
矩形AEFG的长为

3

，宽为1；

（2）如图1，∵四边形AEFG和四边形ABCD是矩形，
∴∠G=∠B=∠ADC=90°，EF∥AG，DC∥AB．∠GAE=∠BAD=90°．
∵BC=3+

3

，AB=

3

+1．AG=1，GF=

3

，
∴

GF

BC

=

3

3+ 3

=

1

3 +1

，

GA

AB

=

1

3 +1

，
∴

GF

BC

=

GA

AB

，
∴△ABC∽△AGF；

（3）DM=EM．
理由：如图3，延长EM到N，使MN=ME，连接CN并延长交AB于H，连接DE、DN，
∵M为FC中点，
∴MF=MC．
∵在△EFM和△NCM中，

EM=NM ∠EMF=∠NMC MF=MC

，
∴△EFM≌△NCM（SAS），
∴∠EFM=∠NCM，EF=CN=1
∴EF∥CH，
∴AG∥CH，
∴∠2=∠3．
∵．∠GAE+∠BAD+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=180°．
∵∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠4．
∵DC∥AB，
∴∠4=∠DCH，
∴∠1=∠DCH．
∵

EA

CN

=

3

1

=

3

，

DA

CD

=

3+ 3

3 +1

=

3

，
∴

EA

CN

=

DA

CD

，
∴△EAD∽△NCD，
∴∠ADE=∠CDN．
∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠ADE=90°，
即∠EDN=90°．
∵EM=NM，
∴DM=

1

2

EN，EM=

1

2

EN，
∴DM=EM．

点评：本题是一道相似形的综合试题，考查了非负数的性质的运用，一元二次方程的解法及运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据条件证明三角形全等和三角形相似是解答本题的关键．