Question

如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AB=25，AD=39，AE=20，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质得出BC=DA，结合AD∥BC，从而可得，∠ACB=∠DAC，根据AAS证出△BEC≌△DFA，从而得出BE=DF．
（2）分别在RT△ABE、BEC中利用勾股定理可得出BE及EC的长，根据EF=EC-AE可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠ACB=∠DAC，
∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠AFD，
∴△CBE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF．

（2）解：在Rt△ABE中，BE²=AB²-AE²=

252-202

=15，
在Rt△BEC中，EC²=BC²-BE²=

392-152

=36，
由（1）可得AF=CE，
∴EF=EC-AE=36-20=16．

点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质及勾股定理的知识，关键之处在于（1）△BEC≌△DFA的证明，要熟练掌握全等三角形的判定定理及勾股定理在直角三角形中的应用．