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    5．已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A-B-C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．
    （1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE=CG；
    （2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长．

    分析 （1）由正方形的性质得出AD=CD，DE=DG，∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°，证出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG；
    （2）利用三角形的面积公式即可得出结论；
    （3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．

    解答 解：（1）∵正方形ABCD，正方形DEFG，
    ∴∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG．
    ∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC．
    即：∠ADE=∠CDG．
    在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$
    ∴△ADE≌△CDG．
    ∴AE=CG．
    （2）∵正方形ABCD的边长为2，
    ∴AB=BC=CD=2，∠BCD=90°．
    ∵动点E从点A出发，沿着A-B-C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，且运动的时间为x秒．
    ∴EC=4-x，
    ∴y=S△CDE=$\frac{1}{2}$EC•CD=$\frac{1}{2}$（4-x）×2=4-x
    ∴所求函数解析式为y=4-x．
    自变量x的取值范围是2≤x≤4．
    （3）如图，

    当点E在AB上时，点G在直线BC上，
    当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；
    同理，点E在BC上时，
    当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；
    ∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
    ∴BF+FG=2BD=4$\sqrt{2}$，
    ∴点F运动的路径长为4$\sqrt{2}$．

    点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

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