Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．

（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．

（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．

（3）在（2）的条件下，已知AB=3，OB:BP=3：1，求四边形AOCP的面积.

Answer 1

【答案】(1)、PA=2；(2)、1:1；(3)、16.

【解析】

试题分析：(1)、根据点P与点B重合，得出PA的长度；(2)、过点P作PM⊥x轴，过点P作PN⊥y轴，根据点A的纵坐标和点B的横坐标相等得出OA=OB，根据∠OAB=90°可得∠AOB=∠ABO=45°，结合角度之间的关系得出△ANP和△CMP全等得出PA=PC，从而得到比值；(3)、根据∠ANP=∠MON=∠OMP =90°得出四边形OMPN为矩形，根据PM=PN得出四边形OMPN为正方形，根据OA=AB=3，得出OB、BP、OP的长度，根据△ANP和△CMP全等得出四边形的面积.

试题解析：(1)、∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1）， ∴点P的坐标是（2，1）． ∴PA的长为2

(2)、过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示

∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ∴OA=AB． ∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45° ∵∠AOC=90°， ∴∠POC=45° ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP =90° ∴∠NPM=90° ∵∠APC=90° ∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM

在△ANP和△CMP中， ∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC． ∴PA：PC的值为1：1

(3)、∵∠ANP=∠MON=∠OMP =90° ∴四边形OMPN为矩形 ∵PM=PN ∴四边形OMPN为正方形

∵∠OAB=90°，OA=AB=3 ∴OB= ∵OB:BP=3：1 ∴BP= ∴OP=

∴正方形OMPN= ∵△ANP≌△CMP． ∴S△ANP≌S△CMP． ∴四边形AOCO=正方形OMPN=16