Question

【题目】如图，抛物线y=x2+mx+（m-1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）能，点P的坐标是（，-），（，-）

【解析】

试题分析：（1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-m，x1x2=m-1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．

（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．

试题解析：（1）依题意：x1+x2=-m，x1x2=m-1，

∵x12+x22+x1x2=7，

∴（x1+x2）2-x1x2=7，

∴（-m）2-（m-1）=7，

即m2-m-6=0，

解得m1=-2，m2=3，

∵c=m-1＜0，∴m=3不合题意

∴m=-2

抛物线的解析式是y=x2-2x-3；

（2）能

如图，设P是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．

若∠POC=∠PCO

则PD应是线段OC的垂直平分线

∵C的坐标为（0，-3）

∴D的坐标为（0，-）

∴P的纵坐标应是-

令x2-2x-3=-，解得，x1=，x2=

因此所求点P的坐标是（，-），（，-）