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【题目】如图,在ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;

(2)①当ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.

②当ABC满足什么条件时,四边形AFBD是菱形?并说明理由.

【答案】(1)BD=DC(2)①当AB=AC时,四边形AFBD是矩形.②当BAC=90°时,四边形AFBD是菱形.

【解析】

试题分析:(1)由AEF≌△DEC得出AF=DC,再根据已知条件即可证明.

(2)①当AB=AC时,四边形AFBD是矩形.先证明四边形AFBD是平行四边形,再证明ADB=90°即可.

②当BAC=90°时,四边形AFBD是菱形.先证明四边形AFBD是平行四边形,再证明AD=BD即可.

(1)证明:E是AD的中点,

AE=ED,

AFBC,

∴∠AFE=ECD,

AEF和DEC中,

∴△AEF≌△DEC,

AF=DC,

AF=BD,

BD=DC.

(2)①当AB=AC时,四边形AFBD是矩形.

证明:AF=BD,AFBD,

四边形AFBD是平行四边形,

AB=AC,BD=DC,

ADBC,

∴∠ADB=90°,

四边形AFBD是矩形.

②当BAC=90°时,四边形AFBD是菱形.

证明::AF=BD,AFBD,

四边形AFBD是平行四边形,

∵∠BAC=90°,BD=DC,

AD=BD=DC,

四边形AFBD是菱形.

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