Question

16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，弦AB=$2\sqrt{3}$，点M是$\widehat{AB}$上任意一点（与端点A、B不重合），ME⊥AB于点E，以点M为圆心，ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C．
（1）求$\widehat{AB}$的长；
（2）试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点O作OH⊥AB于H，则AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，根据弧长公式求出结果；
（2）连接AM、BM，根据切线的判定和性质定理推出⊙M是△ABC的内切圆，得到AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线，求出∠AMB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，由已知条件∠AOB=120，可求得∠AMB=120°，得到∠ACB=60°，求出结果．

解答 解：（1）如图：作OH⊥AB，

则AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
易求AO=2，
∴弧AB的长=$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
（2）连接AM、BM，
∵ME⊥AB，
∴AB是⊙M的切线，
∵AC、BC是⊙M的切线，
∴⊙M是△ABC的内切圆，
∵AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线，
∴∠AMB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠AOB=120°，
∴∠AMB=120°，
∴∠ACB=60°，
即∠ACB的大小不变，为60°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，弧长的公式，切线的判定和性质，三角形的中位线内切圆的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．