Question

11．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）求证：四边形MPNQ是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=BN}\\{∠MDQ=∠NBP}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AN，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵MP=$\frac{1}{2}$BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目．