Question

如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边PQ在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）当矩形EFPQ的面积为20时，求EF的值．

Answer 1

（1）证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴；

（2）解：设EF=x．
由（1）得，
∵BC=10，AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=x，
∴EQ=HD=AD-AH=8-x，
∵矩形EFPQ的面积为20，
∴x（8-x）=20，
解得x₁=x₂=5．
故当矩形EFPQ的面积为20时，EF的值为5．
分析：（1）先根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明出△AEF∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比相等即可求证；
（2）设EF=x．先由（1），则可用含x的代数式表示AH，进而得到EQ，再根据矩形EFPQ的面积为20，列出方程，解方程即可．
点评：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，难度中等．