Question

2．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上一点P（$\sqrt{3}$，1），以点O为圆心，OP长为半径的圆弧交x轴、y轴于D、E两点，交反比例函数的图象于点Q．过点P，Q分别作x轴、y轴的垂线，交于点C，垂足为A，B，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 3+$\frac{π}{6}$-2$\sqrt{3}$
• B． 3+$\frac{π}{3}$-2$\sqrt{3}$
• C． 3+$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$
• D． 3+$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把点P（$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$求得y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，根据反比例函数的解析式设出点Q的坐标（m，$\frac{\sqrt{3}}{m}$），应用勾股定理列方程求出m的值，推出四边形OACB是正方形，再由锐角三角函数求出∠POA=∠BOQ=30°，∠QOP=30°，通过△AOP≌△BOQ得到S_△AOP=S_△BOP，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式，求出阴影部分的面积．

解答 解：把点P（$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
∴OP=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}$=2，
∴OD=OQ=OE=2，
设Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{m}$），
∴${m}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{m}）}^{2}$=4，
∴m=1，
∴Q（1，$\sqrt{3}$），
∴OB=OA，
∴四边形OACB 是正方形，
∴AC=BC=OA=OB=$\sqrt{3}$，BQ=AP=1，
∴∠POA=∠BOQ=30°，
∴∠QOP=30°，
在△AOP与△BOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{AP=BQ}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOQ，
∴S_△AOP=S_△BOP，
∴S_阴影=S_扇形+S_正方形-2S_△AOP-2S_△OBQ-2S_扇形OPQ
=$\frac{90×π{×2}^{2}}{360}$+${（\sqrt{3}）}^{2}$$-2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$$-2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{2×30×π{×2}^{2}}{360}$
=3+$\frac{π}{3}$-2$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积公式，三角形的面积公式的应用，解题的关键是找出各图形之间的关系．