Question

如图，矩形ABCD中，P是AB上一点，将矩形ABCD沿PD折叠，点A恰好落BC边上E点处，若DE=3PE，CD=9，则CE的长为________．

Answer 1

12
分析：由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△BPE∽△CED，设PE=x，由DE=3PE，可得DE=3x，PB=9-x，然后由相似三角形的对应边成比例，可用x表示出CE的长，然后由勾股定理可得方程（3x）²=[3（9-x）]²+9²，解此方程即可求得答案．
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠A=90°，
∴∠BPE+∠BEP=90°，
设PE=x，
则DE=3PE=3x，
由折叠的性质可得：AP=PE=x，∠PED=∠A=90°，
∴∠BEP+∠CED=90°，BP=AB-AP=9-x，
∴∠BPE=∠CED，
∴△BPE∽△CED，
∴，
∴，
∴CE=3（9-x），
在Rt△CED中，DE²=EC²+CD²，
∴（3x）²=[3（9-x）]²+9²，
解得：x=5，
∴CE=3（9-x）=12．
故答案为：12．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及折叠的性质．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．