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    在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB. 设=k．
    （1）证明：△BGF是等腰三角形；
    （2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？并说明理由。
    （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
    利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围.
    (1)证明见解析；（2）；（3）0＜k＜1．

    试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出BG=FG，从而得出结论；
    （2）当△BGF为等边三角形时由等边三角形的性质可以得出∠BAC=30°，根据锐角三角函数值就可以求出k的值；
    （3）根据（1）（2）的结论课得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=∠BGF，根据∠BGF的大小分三种情况讨论就可以求出结论．
    试题解析：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
    ∴∠AFE=90°
    ∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
    ∴GF=AE，
    在Rt△ABE中，同理可得BG=AE，
    ∴GF=GB，
    ∴△BGF为等腰三角形；
    （2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
    ∵GF=GB=AG，
    ∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
    ∴∠BGF=2∠BAC，
    ∴∠BAC=30°，
    ∴∠ACB=60°，
    ∴=tan∠ACB=，
    ∴当k=时，△BGF为等边三角形；
    （3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，
    ∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
    ∴∠BAC＜45°，
    ∴AB＞BC，
    ∴k=＞1；
    当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
    ∴∠BAC=45°
    ∴AB=BC，
    ∴k==1；
    当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
    ∴∠BAC＞45°
    ∴AB＜BC，
    ∴k=＜1；
    ∴0＜k＜1．
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    （2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
    （3）如图②，连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
    （4）如图③，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

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