Question

11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点D是反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一个动点，以D为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图①，⊙D运动到与x轴相切于点H时，判断四边形OHDA的形状，并说明理由；
（2）如图②，⊙D运动到与x轴相交，设交点为B，C，当四边形ABCD是菱形时，求⊙D的半径．

Answer 1

分析 （1）四边形OHDA是正方形．当⊙D分别与两坐标轴相切时，DA⊥y轴，DH⊥x轴，x轴⊥y轴，且DA=DH，可判断结论；
（2）连接DB，设点D（x，$\frac{2\sqrt{3}}{x}$），过点D作DG⊥BC于G，则半径DB=DC，由菱形的性质得DC=BC，可知△DBC为等边三角形，在Rt△DBG中，∠DBG=60°，DB=DA=x，则DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，利用$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$解方程求x即可．

解答 （1）四边形OHDA是正方形．
证明：如图1，∵⊙D分别与两坐标轴相切，
∴DA⊥OA，DH⊥OH，
∴∠DAO=∠OHD=90°，
又∵∠AOH=90°，
∴∠DAO=∠DHO=∠AOH=90°，
∴四边形OHDA是矩形，
又∵DA=DH，
∴四边形OHDA是正方形；

（2）解：如图2，连接DB，设点D的横坐标为x，则其纵坐标为$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，
过点D作DG⊥OC于G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DA=DB=DC（半径），
∴△DBC为等边三角形，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，DB=DA=x，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
解得：x=±2（负值舍去），
∴DA=BC=DC=2，
∴⊙D的半径为2．

点评 本题考查了反比例函数的综合运用以及菱形、圆的性质和正方形的判定等知识，利用数形结合解题得出P点横坐标是解题关键．