精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标;

(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;

(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4;(2)点K的坐标为(,0);(3)当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);(4)存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

【解析】试题分析:(1)把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值,可求得抛物线解析;

(2)可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标,连接C′N交x轴于点K,再求得直线C′K的解析式,可求得K点坐标;

(3)过点E作EG⊥x轴于点G,设Q(m,0),可表示出AB、BQ,再证明△BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出△CQE关于m的解析式,再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标;

(4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况,分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标,进一步求得P点坐标即可.

试题解析:(1)∵抛物线经过点C(0,4),A(4,0),

,解得

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4;

(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1, ),

如图1,作点C关于x轴的对称点C′(0,﹣4),连接C′N交x轴于点K,则K点即为所求,

设直线C′N的解析式为y=kx+b,把C′、N点坐标代入可得 ,解得

∴直线C′N的解析式为y=x-4 ,

令y=0,解得x=

∴点K的坐标为(,0);

(3)设点Q(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图2,

由﹣ x2+x+4=0,得x1=﹣2,x2=4,

∴点B的坐标为(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,

又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,

,即 ,解得EG=

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=(CO-EG)·BQ=(m+2)(4-

= =-(m-1)2+3 .

又∵﹣2≤m≤4,

∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);

(4)存在.在△ODF中,

(ⅰ)若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),

∴AD=OD=DF=2.

又在Rt△AOC中,OA=OC=4,

∴∠OAC=45°.

∴∠DFA=∠OAC=45°.

∴∠ADF=90°.

此时,点F的坐标为(2,2).

由﹣ x2+x+4=2,得x1=1+ ,x2=1﹣

此时,点P的坐标为:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);

(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M.

由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,

∴AM=3.

∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.

∴F(1,3).

由﹣ x2+x+4=3,得x1=1+,x2=1﹣

此时,点P的坐标为:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);

(ⅲ)若OD=OF,

∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.

∴AC=4

∴点O到AC的距离为2

而OF=OD=2<2,与OF≥2矛盾.

∴在AC上不存在点使得OF=OD=2.

此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.

综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】xy为正整数,且2x2y=32,则xy的值共有_______对.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】有一种病毒呈球形,其最小直径约为0.000 000 08米,用科学记数法表示为( )
A.80×109
B.0.8×107
C.8×108
D.8×109

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若有:①分析数据;②收集数据;③作出决策;④整理数据;⑤提出问题,则下列关于决策过程的排序正确的是(  )
A.⑤②④①③
B.⑤②①③④
C.④①③②⑤
D.⑤③②④①

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠DBC=36°.

(1)求∠1的度数;
(2)求证:BC=BD=AD.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若xn=4,yn=9,则(xy)n=________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】要调查某校七年级学生周日的睡眠时间,选取调查对象最合适的是(  )
A.选取七年级一个班级的学生
B.选取50名七年级男生
C.选取50名七年级女生
D.随机选取50名七年级学生

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在ABCD中,对角线ACBD相交于点OAB=5,AC=6,BD=8.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)过点AAH⊥BC于点H,求AH的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】学校七年级学生做校服,校服分小号、中号、大号、特大号四种,随抽取若干名学生调查身高得如下统计分布表:

型号

身高x/cm

人数

频率

小号

145≤x155

20

0.2

中号

155≤x165

a

0.45

大号

165≤x175

30

b

特大号

175≤x185

5

0.05

(1)这次共抽取__名学生;

2a=__b=__

查看答案和解析>>

同步练习册答案