【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4;(2)点K的坐标为(,0);(3)当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);(4)存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).
【解析】试题分析:(1)把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值,可求得抛物线解析;
(2)可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标,连接C′N交x轴于点K,再求得直线C′K的解析式,可求得K点坐标;
(3)过点E作EG⊥x轴于点G,设Q(m,0),可表示出AB、BQ,再证明△BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出△CQE关于m的解析式,再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标;
(4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况,分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标,进一步求得P点坐标即可.
试题解析:(1)∵抛物线经过点C(0,4),A(4,0),
∴,解得 ,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4;
(2)由(1)可求得抛物线顶点为N(1, ),
如图1,作点C关于x轴的对称点C′(0,﹣4),连接C′N交x轴于点K,则K点即为所求,
设直线C′N的解析式为y=kx+b,把C′、N点坐标代入可得 ,解得 ,
∴直线C′N的解析式为y=x-4 ,
令y=0,解得x= ,
∴点K的坐标为(,0);
(3)设点Q(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G,如图2,
由﹣ x2+x+4=0,得x1=﹣2,x2=4,
∴点B的坐标为(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,
又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,
∴ ,即 ,解得EG= ;
∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=(CO-EG)·BQ=(m+2)(4-)
= =-(m-1)2+3 .
又∵﹣2≤m≤4,
∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0);
(4)存在.在△ODF中,
(ⅰ)若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DF=2.
又在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°.
∴∠DFA=∠OAC=45°.
∴∠ADF=90°.
此时,点F的坐标为(2,2).
由﹣ x2+x+4=2,得x1=1+ ,x2=1﹣.
此时,点P的坐标为:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);
(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M.
由等腰三角形的性质得:OM=OD=1,
∴AM=3.
∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.
∴F(1,3).
由﹣ x2+x+4=3,得x1=1+,x2=1﹣.
此时,点P的坐标为:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);
(ⅲ)若OD=OF,
∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.
∴AC=4.
∴点O到AC的距离为2.
而OF=OD=2<2,与OF≥2矛盾.
∴在AC上不存在点使得OF=OD=2.
此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有一种病毒呈球形,其最小直径约为0.000 000 08米,用科学记数法表示为( )
A.80×10﹣9米
B.0.8×10﹣7米
C.8×10﹣8米
D.8×10﹣9米
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若有:①分析数据;②收集数据;③作出决策;④整理数据;⑤提出问题,则下列关于决策过程的排序正确的是( )
A.⑤②④①③
B.⑤②①③④
C.④①③②⑤
D.⑤③②④①
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】要调查某校七年级学生周日的睡眠时间,选取调查对象最合适的是( )
A.选取七年级一个班级的学生
B.选取50名七年级男生
C.选取50名七年级女生
D.随机选取50名七年级学生
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点A作AH⊥BC于点H,求AH的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校七年级学生做校服,校服分小号、中号、大号、特大号四种,随抽取若干名学生调查身高得如下统计分布表:
型号 | 身高x/cm | 人数 | 频率 |
小号 | 145≤x<155 | 20 | 0.2 |
中号 | 155≤x<165 | a | 0.45 |
大号 | 165≤x<175 | 30 | b |
特大号 | 175≤x<185 | 5 | 0.05 |
(1)这次共抽取__名学生;
(2)a=__,b=__.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com