Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,平行线的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,存在型

分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．

解答：解：（1）如图1，
∵A（-3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（-3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

9a-3b+c=0 c=4 25a+5b+c=4

解得：

a=- 1 6 b= 5 6 c=4

∴抛物线的解析式为y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（-3，0）、B（5，4）在直线AB上，
∴

-3m+n=0 5m+n=4

解得：

m= 1 2 n= 3 2

∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+

3

2

．
设点P的横坐标为t（-3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴y_P=

1

2

t+

3

2

，y_Q=-

1

6

t²+

5

6

t+4．
∴PQ=y_Q-y_P=-

1

6

t²+

5

6

t+4-（

1

2

t+

3

2

）
=-

1

6

t²+

5

6

t+4-

1

2

t-

3

2

=-

1

6

t²+

t

3

+

5

2

=-

1

6

（t²-2t-15）
=-

1

6

[（t-1）²-16]
=-

1

6

（t-1）²+

8

3

．
∵-

1

6

＜0，-3≤t≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为

8

3

．
∴线段PQ的最大值为

8

3

．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=-

5 6

2×(- 1 6 )

=

5

2

．
∴x_H=x_G=x_M=

5

2

．
∴y_G=

1

2

×

5

2

+

3

2

=

11

4

．
∴GH=

11

4

．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴

GH

AH

=

AH

MH

．
∴

11 4

5 2 -(-3)

=

5 2 -(-3)

MH

．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（

5

2

，-11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5-

5

2

=

5

2

，DG=4-

11

4

=

5

4

，
∴BG=

BD2+DG2

=

( 5 2 )2+( 5 4 )2

=

5 5

4

．
同理：AG=

11 5

4

．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴

AG

MG

=

GH

GB

．
∴

11 5 4

MG

=

11 4

5 5 4

．
解得：MG=

25

4

．
∴MH=MG+GH
=

25

4

+

11

4

=9．
∴点M的坐标为（

5

2

，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（

5

2

，9）和（

5

2

，-11）．

点评：本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强．