Question

图中ABCD是平行四边形，面积是1，F为DC边上一点，E为AB上一点，连接AF，BF，DE，CE，AF交DE于G，EC交FB于H．已知，

AE

EB

=

1

4

，阴影三角形BHC的面积是

1

8

，求三角形ADG的面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．

解答：解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah=1．
AE=

a

5

，BE=

4a

5

，h=

1

a

．
①计算F点在CD上的位置：
S_△BEH=BE×h÷2-S_△BCH=

4

5

a×

1

2a

-

1

8

=

11

40

；
h₁=2×S_△BEH÷BE（h₁为△BEH之BE边上的高）=2×

11

40

÷

4

5

a=

55

80a

=

11

16a

；
S_△CFH=CF×（h-h₁）÷2=CF×h÷2-S_△BCH，
∴CF×（

1

a

-

11

16a

）÷2=CF×

1

a

÷2-

1

8

，
∴CF×

25

160a

=CF×

80

160a

-

20

160

，
∴CF×

55

160a

=

20

160

，
∴CF=

4a

11

；
∴DF=DC-CF=

7a

11

；

②计算△ADG的面积：
S_△ADG=S_△ADE-S_△AEG，
=AE×h÷2-AE×h₂÷2，（h₂为△AEG之AE边上的高）
=

a

5

×

1

a

÷2-

a

5

×h₂÷2，
=

1

10

-

a

10

×h₂，（1）

S_△ADG=S_△ADF-S_△DFG，
=DF×h÷2-DF×（h-h₂）÷2，
=（DF×h₂）÷2，
=

7a

11

×h₂÷2，
=

7a

22

×h₂，（2）
（2）代入（1）可得：
∴

7a

22

×h₂=

1

10

-

a

10

×h₂，
∴

70a

220

×h₂=

22

220

-

22a

220

×h₂，
∴h₂=

22

92a

，
∴S_△ADG=

7a

22

×h₂=

7a

22

×

22

92a

=

7

92

；
答：△ADG的面积是

7

92

．

点评：考查了面积及等积变换，此题难度较大，关键是得出平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．