Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，M，N，P，Q分别是AB，AF，EF，BE的中点，判断四边形MNPQ的形状，并证明．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：首先证明△ABE≌△BCF，利用全等的性质证明AE=BF，AE⊥BF，即四边形ABEF的对角线互相垂直且相等，根据三角形中位线的性质可证明四边形MNPQ是正方形．

解答：解：四边形MNPQ是正方形．理由如下：
如图，连接AE、BF．
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF=90° BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CBF=90°，
∴AE⊥BF．
∵M，N分别是AB，AF的中点，
∵MN为△ABF的中位线，
∴MN=

1

2

BF，MN∥BF，
同理可证PQ=

1

2

BF，PQ∥BF，
即MN=PQ，MN∥PQ，四边形MNPQ为平行四边形，
易证NP=

1

2

AE=

1

2

BF=MN，
∴?PQGH菱形，
∵AE⊥BF，
∴NP⊥MN，菱形MNPQ为正方形．

点评：本题考查了中点四边形．关键是利用正方形的性质证明三角形全等，利用性质证明AE与BF的相等与垂直关系．