Question

15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．
（1）当CM=2时，求线段CD的长；
（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作OH⊥BC于H．只要证明△DCM≌△OHM，即可得出CD=OH=3．
（2）如图2中，作NG⊥OB于G．首先证明∠1=∠2，根据tan∠1=tan∠2，可得$\frac{MH}{OH}$=$\frac{NG}{OG}$，由此即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，②如图4中，当OM=MN时，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作OH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=OB，OH∥AC，
∴CH=HB=4，OH=3，
∵CM=2，
∴CM=HM=2，
在△DCM和△OHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠OMH}\\{∠DCM=∠OHM=90°}\\{CM=MH}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△OHM，
∴CD=OH=3．

（2）如图2中，作NG⊥OB于G．

∵∠HOB=∠A=∠MON，
∴∠1=∠2，
在Rt△BNG中，BN=y，sibB=$\frac{3}{5}$，
∴GN=$\frac{3}{5}$y，BG=$\frac{4}{5}$y，
∵tan∠1=tan∠2，
∴$\frac{MH}{OH}$=$\frac{NG}{OG}$，
∴$\frac{4-x}{3}$=$\frac{\frac{3}{5}y}{5-\frac{4}{5}y}$，
∴y=$\frac{100-25x}{25-4x}$，（0＜x＜4）．

（3）①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，

∴BN=CM=x，
∵△OMH≌△ONG，
∴NG=HM=4-x，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{4-x}{x}$=$\frac{3}{5}$，
∴CM=x=$\frac{5}{2}$．

②如图4中，当OM=MN时．连接CO，

∵OA=OB，OM=MN，
∴CO=OA=OB，
∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，
∴△MON∽△OAC，
∴∠AOC=∠OMN，
∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，
∴△CMO∽△COB，
∴$\frac{CO}{CB}$=$\frac{CM}{CO}$，
∴8x=5²，
∴x=$\frac{25}{8}$．
综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形，属于中考压轴题．