练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=30°，BC=26cm，CD=8cm，AD=16cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒3cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向D运动，点P、Q分别从点B、A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）
    （1）当t为何值时（0＜t＜$\frac{26}{3}$），四边形PQDC是平行四边形？
    （2）当t为何值时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2？
    （3）是否存在点P，使△PCD是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，如不存在，请说明理由

    分析 （1）根据运动得出PC=26-3t，DQ=16-t，进而用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
    （2）先求出梯形的高DH，再分两种情况用梯形的面积建立方程求解即可；
    （3）分点P是从点B向点C运动的过程中和点P到达点C返回点B时，每种情况又分点D为直角顶点和点P为直角顶点，用勾股定理即可得出结论．

    解答 解：（1）由运动知，BP=3t，AQ=t，
    ∵BC=26cm，AD=16cm，
    ∴PC=26-3t，DQ=16-t，
    ∵四边形PQDC是平行四边形，且AD∥BC，
    ∴PC=DQ，
    ∴26-3t=16-t，
    ∴t=5，
    即：t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
    （2）过点D作DH⊥BC，
    在Rt△CDH中，∠BCD=30°，CD=8，
    ∴DH=4，CH=4$\sqrt{3}$，
    如图，①当点P是从点B向点C运动，
    由（1）知，PC=26-3t，DQ=16-t，
    ∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2，
    ∴S四边形CDQP=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+26-3t）×4=36，
    ∴t=6，②当点P是从点C返回点B时，
    由运动知，DQ=16-t，CP=3t-26，
    ∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2，
    ∴S四边形CDQP=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+3t-26）×4=36，
    ∴t=14，∴当t为6秒或14秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm2；
    （3）①当点P从点B向点C运动时，
    ∵△PCD是直角三角形，
    Ⅰ、点D是直角顶点，如图2，
    在Rt△CDP中，∠BCD=30°，CD=8，
    ∴cos30°=$\frac{CD}{CP}$，
    ∴CP=$\frac{CD}{cos30°}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
    ∴26-3t=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
    ∴t=$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
    Ⅱ、当点P为直角顶点时，如图3，
    在Rt△CPD中，∠BCD=30°，CD=8，
    ∴CP=4$\sqrt{3}$，
    ∴26-3t=4$\sqrt{3}$，
    ∴t=$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
    ②当点P是从点C返回点B时，
    Ⅰ、当点D为直角顶点时，CP=3t-26=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
    ∴t=$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
    Ⅱ、当点P为直角顶点时，CP=3t-26=4$\sqrt{3}$，
    ∴t=$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
    即：△PCD是直角三角形时，t的值为$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$或$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，梯形的面积公式，用方程的思想是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    14．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC的是（　　）
    A．AB=5，BC=6，AC=13B．AB=8，BC=8，∠A=40°
    C．∠A=60°，∠B=45°，BC=4D．∠C=90°，AB=12

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．
    （1）当CM=2时，求线段CD的长；
    （2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
    （3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．某中学九年级学生共450人，其中男生250人，女生200人．该校对九年级所有学生进行了一次体育测试，并随机抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
    成绩频数百分比
    不及格910%
    及格1820%
    良好3640%
    优秀2730%
    合计90100%
    （1）请解释“随机抽取了50名男生和40名女生”的合理性；
    （2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
    （3）估计该校九年级学生体育测试成绩不及格的人数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．王大伯准备在一块直角三角形菜地上开辟出一块矩形菜地种植菠菜，剩余菜地种植白菜，如图．已知∠ACB=90°，AB=50m，种植菠菜的矩形菜地CDEF的另3个顶点分别在AC，AB，BC上，设CD的长度为x m，矩形CDEF的面积为y m2．
    （1）当AC=40m时，求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
    （2）在（1）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
    （3）当四边形CDEF为正方形，且BE=10m，AE=40m时，求种植白菜的菜地面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．
    （1）求证：BC=AB+AP；
    （2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．在△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
    （1）如图1，若AB=BC，连接AA1，CC1，求证：AA1=CC1；
    （2）如图2，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
    （3）如图3，若AB=3，BC=4，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时方向旋转一周的过程中，点P的对应点是点P1，试直接写出旋转过程中线段EP1长度的最大值与最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．由一些小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你画出所有的可能的左视图并写出相应的n的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    18．两堆棋子，将第一堆的3个棋子移动到第二堆之后，现在第二堆的棋子数是第一堆棋子的3倍，设第一堆原有m个棋子，则第二堆的棋子原有（　　）个．
    A．3mB．3m-3C．$\frac{m+3}{3}$D．3m-12

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案