Question

19．王大伯准备在一块直角三角形菜地上开辟出一块矩形菜地种植菠菜，剩余菜地种植白菜，如图．已知∠ACB=90°，AB=50m，种植菠菜的矩形菜地CDEF的另3个顶点分别在AC，AB，BC上，设CD的长度为x m，矩形CDEF的面积为y m²．
（1）当AC=40m时，求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形CDEF为正方形，且BE=10m，AE=40m时，求种植白菜的菜地面积．

Answer 1

分析 （1）矩形的面积就是长×宽，所以只要表示出DE的长即可，先根据勾股定理求出边长BC的长，根据矩形的性质可得：DE∥CF，从而得△ADE∽△ACB，列比例式可表示出DE的长，代入面积公式可求得y与x之间的函数关系式，因为x是CD的长，不能超过边AC的长，所以要小于40m；
（2）利用配方法求y的最大值；
（3）先证明△ADE∽△ACB，列比例式可以表示BC的长，在Rt△EFB中，利用勾股定理列方程可以求得x的值，再计算种植白菜的两个三角形的面积的和即可．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，AC=40，AB=50，
∴BC=30，
∵CD=x，
∴AD=40-x，
∵四边形CDEF为矩形，
∴DE∥FC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{40-x}{40}$=$\frac{DE}{30}$，
∴DE=$\frac{3（40-x）}{4}$，
∴y=DC•DE=x$•\frac{3（40-x）}{4}$=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+30x（0＜x＜40）；
（2）y=-$\frac{3}{4}{x}^{2}$+30x=-$\frac{3}{4}$（x²-40x+400-400）=-$\frac{3}{4}$（x-20）²+300，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴y有最大值，
当x=20时，y有最大值为300m²；
（3）∵四边形CDEF为正方形，
∴DE=CD=x，DE∥FC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵BE=10，AE=40，
∴$\frac{x}{BC}=\frac{40}{50}$，
∴BC=$\frac{5}{4}$x，
∴BF=BC-CF=$\frac{5}{4}$x-x=$\frac{1}{4}$x，
在Rt△EFB中，BE²=BF²+EF²，
10²=x²+（$\frac{1}{4}$x）²，
x₁=$\frac{40\sqrt{17}}{17}$，x₂=-$\frac{40\sqrt{17}}{17}$（舍）
∴CD=$\frac{40\sqrt{17}}{17}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{EB}$=$\frac{4}{1}$，
∴AD=4CD，
∴S=S_△ADE+S_△EFB=$\frac{1}{2}$•x•4x+$\frac{1}{2}$•x$•\frac{1}{4}$x=2x²+$\frac{1}{8}{x}^{2}$=$\frac{17}{8}{x}^{2}$=$\frac{17}{8}$×$\frac{1600}{17}$=200，
答：种植白菜的菜地面积200m²．

点评 本题是四边形、三角形和二次函数的综合问题，难度适中；本题综合考查了矩形、正方形的性质、相似三角形的性质和判定，还有二次函数的最值问题，熟练掌握多边形的面积公式是关键，利用相似三角形的性质列比例式表示边长，代入面积公式即可解决此题．