Question

8．如图1，四边形ABCD的边AD和△GEF的边EF在同一条直线上，且点A与点F重合，在四边形中，∠BAD=90°，BC∥AD，∠CDA=60°；在三角形中，∠EGF=120°，GE=GF=4，EF=2AD，现将△GEF以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度沿射线AD方向平移，设平移时间为x秒．
（1）填空：S_△GEF=4$\sqrt{3}$；当G点落在CD上时，x=$\frac{10}{3}$秒；
（2）当△GEF运动到点E和点A重合时，便停止平移，平移过程中，将△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积记为S，请直接写出S与x的函数关系式，并写出对应的自变量取值范围；
（3）如图2，当△GEF开始平移的同时，一动点P以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度从点E沿射线EF方向运动，当0＜x＜2时，GF与AB相交于点Q，请问在运动过程中，△FPQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出运动时间x的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先作高线GH，利用等腰三角形三线合一可知：GH也是底边的中线，由顶角为120度，得两个底角为30°，依次求出EF和GH的长，代入面积公式可求面积；
如图2，当G点落在CD上时，依次求出DG、DF、AD的长，移动的路程为AF，与速度的商就是时间x；
（2）分三种情况讨论：①当0≤x≤2时，如图3，重叠部分的面积为△AFM的面积，②当2＜x≤$\frac{10}{3}$时，如图4，重叠部分的面积为五边形GMADN的面积，利用面积差求重叠部分的面积；③当$\frac{10}{3}$＜x≤4时，如图5，重叠部分的面积为四边形ADNM的面积，同理可求得面积；
（3）有两种情况：
①如图6，当PQ=FQ时，△FPQ是等腰三角形，根据AP+EP+AF=EF列式求得x，②如图7，当FQ=PF时，△FPQ是等腰三角形，同理列式可得结论．

解答 解：（1）如图1，过G作GH⊥EF于H，
∵GE=GF，∠EGF=120°，
∴EH=FH，∠GEF=∠GFE=30°，
∵GE=4，
∴GH=$\frac{1}{2}$EG=2，
∴EH=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2EH=4$\sqrt{3}$，
∴S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF•GH=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$；
如图2，当G点落在CD上时，
在Rt△DGH中，tan∠ADC=tan60°=$\frac{GH}{DH}$，
∴DH=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ADC=60°，∠F=30°，
∴∠DGF=30°，
∴DG=DF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=AD+DF=$\frac{1}{2}$EF+DF=2$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{10}{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；$\frac{10}{3}$秒；
（2）分三种情况讨论：
①当0≤x≤2时，如图3，重叠部分的面积为△AFM的面积，
由题意得：AF=$\sqrt{3}$x，
在Rt△AFM中，∠GFE=30°，
tan30°=$\frac{AM}{AF}$，
∴AM=AF•tan30°=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=x，
∴S=S_△AFM=$\frac{1}{2}$AF•AM=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$；
②当2＜x≤$\frac{10}{3}$时，如图4，重叠部分的面积为五边形GMADN的面积，
过N作NH⊥AD于H，
∵AF=$\sqrt{3}$x，
∴AE=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，FD=AF-AD=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
同（1）得：DN=FD=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
在Rt△AEM中，∠E=30°，
tan30°=$\frac{AM}{AE}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=4-x，
在Rt△DHN中，∠ADC=60°，
sin60°=$\frac{NH}{DN}$，
NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}x$-3，
∴S=S_△GEF-S_△AEM-S_△DFN=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）（4-x）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）（$\frac{3}{2}$x-3），
∴S=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$+7$\sqrt{3}$x-7$\sqrt{3}$；
③当$\frac{10}{3}$＜x≤4时，如图5，重叠部分的面积为四边形ADNM的面积，
AE=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，AM=4-x，
∴ED=AD+AE=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，
∵∠E=30°，∠ADC=60°，
∴∠END=90°，
∴DN=$\frac{1}{2}$ED=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
cos30°=$\frac{EN}{ED}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=9-$\frac{3}{2}$x，
∴S=S_△END-S_△AEM，
=$\frac{1}{2}$DN•EN-$\frac{1}{2}$AE•AM，
=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）（9-$\frac{3}{2}$x）-$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）（4-x），
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{11\sqrt{3}}{2}$；
综上所述，S与x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}（0≤x≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+7\sqrt{3}x-7\sqrt{3}（2＜x≤\frac{10}{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{11\sqrt{3}}{2}（\frac{10}{3}＜x≤4）}\end{array}\right.$；
（3）当0＜x＜2时，△FPQ可以成为等腰三角形，
有两种情况：
①如图6，当PQ=FQ时，△FPQ是等腰三角形，
∴∠QPF=∠QFP=30°，
∵AQ⊥FE，
∴AP=AF=$\sqrt{3}$x，
由题意得：EP=$\sqrt{3}$x，
∴AP=EP=AF=$\sqrt{3}$x，
则3$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$，
x=$\frac{4}{3}$；
②如图7，当FQ=PF时，△FPQ是等腰三角形，
AF=EP=$\sqrt{3}$x，
cos30°=$\frac{AF}{FQ}$，
∴FQ=$\frac{AF}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2x，
∴PF=2x，
∴EF=PE+PF，
∴$\sqrt{3}$x+2x=4$\sqrt{3}$，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）=8$\sqrt{3}$-12，
综上所述，当△FPQ是等腰三角形时，运动时间x的值为$\frac{4}{3}$秒或（8$\sqrt{3}$-12）秒．

点评 本题是四边形的综合题，考查了直角梯形、等腰三角形的性质和判定、平移的几何变换，本题比较复杂，首先要弄清动点运用的路线、速度、时间及路程，对于重叠部分面积的求法，要先找出特殊位置时所对应的时间，分情况进行求解．