Question

16．在△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，若AB=BC，连接AA₁，CC₁，求证：AA₁=CC₁；
（2）如图2，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（3）如图3，若AB=3，BC=4，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时方向旋转一周的过程中，点P的对应点是点P₁，试直接写出旋转过程中线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ABA₁≌△CBC₁，即可得出结论；
（2）根据旋转的性质得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，利用等腰三角形的性质得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，于是得到∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（3）如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，则点D在线段AC上，在Rt△BCD中利用三角函数可计算出BD=，则当BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE；当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，如图2，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE．

解答 （1）证明：∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
∴A₁B=AB，C₁B=CB，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠A₁BA=∠C₁BC，
∵AB=BC，
∴A₁B=AB=C₁B=CB，
在△ABA₁和△CBC₁中，$\left\{\begin{array}{l}{{A}_{1}B=B{C}_{1}}&{\;}\\{∠{A}_{1}BA=∠{C}_{1}BC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABA₁≌△CBC₁（SAS），
∴AA₁=CC₁；
（2）解：由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（3）解：如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，
最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=2$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$；
当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，
如图2，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=4+$\frac{3}{2}$=$\frac{11}{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角函数以及最大值与最小值问题；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解决问题的关键：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．