【题目】请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
(1)探究1,如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=3,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,过点D做BC边上的高DE,则DE与BC的数量关系是 ,△BCD的面积为 ;
(2)探究2,如图②,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由;
(3)探究3:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.
【答案】(1)DE=BC,△BCD的面积为;(2)△BCD的面积为,理由详见解析;(3)△BCD的面积为,理由详见解析.
【解析】
(1)如图1,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=3.进而由三角形的面积公式得出结论;
(2)如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a.进而由三角形的面积公式得出结论;
(3)如图3,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出BFBC,由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面积公式就可以得出结论.
(1)如图1,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知:AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.
∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE.
在△ABC和△BDE中,∵,∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=3.
∵S△BCDBCDE,∴S△BCD×32=;
(2)△BCD的面积为.理由如下:
如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,∴∠BED=∠ACB=90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,∴AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.
∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE.
在△ABC和△BDE中,∵,∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=a.
∵S△BCDBCDE,∴S△BCD;
(3)如图3,过点A作AF⊥BC与F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,∴∠AFB=∠E=90°,BFBCa,∴∠FAB+∠ABF=90°./p>
∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,∴∠FAB=∠EBD.
∵线段BD是由线段AB旋转得到的,∴AB=BD.
在△AFB和△BED中,∵,∴△AFB≌△BED(AAS),∴BF=DEa.
∵S△BCDBCDEaaa2,∴△BCD的面积为.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,AE∥CD,CE∥AB.
(1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.
(2)连接BE,若∠BAC=30°,CE=1,求BE的长.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,二次函数的图象与轴正半轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,对称轴为直线且OA=OC,则下列结论:①②③④关于的方程有一个根为其中正确的结论个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A.篮球 B.乒乓球C.羽毛球 D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
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【题目】桌面上有四张正面分别标有数字,,,的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗匀.
(1)随机翻开一张卡片,正面所标数字大于的概率为 ;
(2)随机翻开一张卡片,从余下的三张卡片中再翻开一张,求翻开的两张卡片正面所标数字之和是偶数的概率.
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【题目】二次函数的部分图像如图所示,图像过点,对称轴为直线,下列结论:(1);(2);(3)若点、点、点在该函数图像上,则;(4)若方程的两根为和,且,则.其中正确结论的序号是________.
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【题目】一次函数y=﹣x+1的图象与反比例函数的图象交点的纵坐标为2,当﹣3<x<﹣1时,反比例函数中y的取值范围是( )
A. B. C. D. ﹣3<y<﹣1
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