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【题目】请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:

(1)探究1,如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=3,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,过点D做BC边上的高DE,则DE与BC的数量关系是   ,△BCD的面积为   

(2)探究2,如图②,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由;

(3)探究3:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.

【答案】(1)DE=BC,△BCD的面积为;(2)△BCD的面积为,理由详见解析;(3)△BCD的面积为,理由详见解析.

【解析】

(1)如图1,过点DBC的垂线BC的延长线交于点E由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE就有DEBC=3.进而由三角形的面积公式得出结论

(2)如图2,过点DBC的垂线BC的延长线交于点E由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE就有DEBCa.进而由三角形的面积公式得出结论

(3)如图3,过点AAFBCF过点DDEBC的延长线于点E由等腰三角形的性质可以得出BFBC由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BFDE由三角形的面积公式就可以得出结论

1)如图1,过点DDECBCB的延长线于E,∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知ABBD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.

∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE

在△ABC和△BDE中,∵,∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BCDE=3.

SBCDBCDE,∴SBCD×32=

(2)△BCD的面积为.理由如下

如图2,过点DBC的垂线BC的延长线交于点E,∴∠BED=∠ACB=90°.

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE,∴ABBD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.

∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE

在△ABC和△BDE中,∵,∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BCDEa

SBCDBCDE,∴SBCD

(3)如图3,过点AAFBCF过点DDEBC的延长线于点E,∴∠AFB=∠E=90°,BFBCa,∴∠FAB+∠ABF=90°./p>

∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,∴∠FAB=∠EBD

∵线段BD是由线段AB旋转得到的,∴ABBD

在△AFB和△BED中,∵,∴△AFB≌△BED(AAS),∴BFDEa

SBCDBCDEaaa2,∴△BCD的面积为

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