Question

已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），C（2，-2）是抛物线外一点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PB-PC|值最大，则点P坐标是________．

Answer 1

（4，-6）
分析：令y=0，解方程求出点A、B的坐标，再根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后找出点C关于抛物线对称轴的对称点C′，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PC=PC′，再根据三角形三边关系可知当点P为直线BC′与对称轴的交点时，|PB-PC|值最大为BC′的长，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC′的解析式，然后求解即可．
解答：解：令y=0，则x²-x+=0，
整理得，x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7，
∵A点在B点左侧，
∴点A（1，0），B（7，0），
抛物线对称轴为直线x=-=4，
∴点C（2，-2）关于直线x=4的对称点C′坐标为（6，-2），
根据线段垂直平分线的性质，PC=PC′，
根据三角形的三边关系，PB-PC′＜BC′，
∴当点P、B、C′三点共线时，|PB-PC|值最大为BC′的长，
设直线BC′的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线BC′的解析式为y=2x-14，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴y=2×4-14=8-14=-6，
∴点P的坐标为（4，-6）．
故答案为：（4，-6）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及抛物线与坐标轴的交点的求解，抛物线的对称轴，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的三边关系，找出点C关于对称轴的对称点C′，并且判断出点P在直线BC′是解题的关键，也是本题的难点．