Question

18．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x²-4x+5m=mx+5与x²+$\sqrt{2}$x+m-1=0互为“友好方程”，求m的值．

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程x²-4x+5m=mx+5，得到x₁=5，x₂=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x²+$\sqrt{2}$x+m-1=0，求出m的值即可．

解答 解：x²-4x+5m=mx+5，
整理得，x²-（4+m）x+5（m-1）=0，
分解因式得，（x-5）[x-（m-1）]=0，
解得x₁=5，x₂=m-1．
当x=5时，25+5$\sqrt{2}$+m-1=0，解得m=-24-5$\sqrt{2}$；
当x=m-1时，（m-1）²+$\sqrt{2}$（m-1）+m-1=0，解得m=1或m=-$\sqrt{2}$．
所以m的值为-24-5$\sqrt{2}$或1或-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程x²-4x+5m=mx+5的两个解是解题的关键．