Question

（2012•瑶海区三模）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；
（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据待定系数法将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可；
（2）利用两点之间距离公式求出PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；
（3）首先求出点D的坐标为（-2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．

解答：（1）由题意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，
∴S△APC=

1

2

×AC×PC=

1

2

×

2

×3

2

=3；

（3）四边形PCED是正方形，
∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，
∴点D的坐标为（-2，3），PC=DP，
∵A（-3，0），C（0，3），代入y=ax+b，

b=3 -3k+b=0

，
解得：

a=1 b=3

，
∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，
同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四边形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四边形PCED是正方形．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法，难度不大，细心求解即可．