Question

如图，矩形AOBC的顶点O在坐标原点，边OB、OA分别在x、y轴的正半轴上，且OA=6个单位长度，OB=10个单位长度．射线y=x（x≥0）交线段AC于点D，点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→A→D→O的路线匀速运动；与此同时，点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→B→C的路线匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，△POQ的面积为S．
（1）线段AD=；线段DO=；
（2）分别求0≤t＜3及7≤t＜10时，S与t的函数关系式；
（3）求△POQ的面积S等于梯形DCBO面积一半时t的值；
（4）在运动的全过程中，是否存在t的值，使△POQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（备用图）

Answer 1

解：（1）AD=8，OD=10

（2）当0≤t＜3时，S=t²；
当7≤t＜10时，PO=24-2t，
PM=（24-2t），
S=-+t
=-+


（3）当3≤t＜7时，S=3t；
当10≤t≤12时，PQ=24-2t，CD=2，CE=，BE=，
BQ=t-10，EQ=-t，NQ=（-t），
S=（12-t）（35-2t）
=-t+168
=-
3t=18，t=6，
-+t=18，t=6+，t=6-＜7（舍）．

（4）PO=PQ，2t-6=，
t=4
PQ²=t²-12t+72，PQ²=OQ²，t=6
PO=24-2t，PO=OQ，t=8
OM=，（24-2t）=，
t=．
另：

分析：（1）设点D的坐标为（x，6），∵点D在y=x上，∴x=8，即AD=8，利用勾股定理可求得OD=10．
（2）0≤t＜3时，P在AO上，Q在OB上．此时△POQ为直角三角形，两直角边分别为t，2t；易求得面积．7≤t＜10时，P在DO上，Q在OB上，易求得OQ为t•OP的长度，利用∠POM=∠ADO的正切值即可求得OQ边上的高PM．
（3）易求得梯形BCDO的面积为36．那么让△POQ的面积等于18，应分P在AO上，Q在BO上；P在AD上，Q在OB上；P在DO上，Q在CB上．P在DO上，Q在BC上等情况分析．
（4）P在AO上，Q在BO上，此时为直角三角形，两直角边的边长不可能相等，不存在为等腰三角形的形式．P在AD上，Q在OB上，PO=PQ，此时，AP的长度等于OQ的一半．PQ=OQ，可得到t的另一值．P在DO上，Q在CB上可利用PO=OQ得到t的值，PQ=OP．此时OM=MQ．P在DO上，Q在BC上△POQ是钝角三角形，不存在等腰三角形的情况．
点评：本题考查运动过程中形成一定的面积和一定的形状，注意分多种情况进行分析．