Question

如图，已知点A，B分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，点C的坐标是C（）AB与OC相交于点G．点P从O出发以每秒1个单位的速度从O运动到C，过P作直线EF∥AB分别交OA，OB或BC，AC于E，F．解答下列问题：
（1）直接写出点G的坐标和直线AB的解析式．
（2）若点P运动的时间为t，直线EF在四边形OACB内扫过的面积为s，请求出s与t的函数关系式；并求出当t为何值时，直线EF平分四边形OACB的面积．
（3）设线段OC的中点为Q，P运动的时间为t，求当t为何值时，△EFQ为直角三角形．

Answer 1

解：（1）G点的坐标是G（，），
∵OA=OB=3，得出A，B两点坐标分别为：（3，0），（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则，
解得：，
故直线AB的解析式为：y=-x+3；

（2）∵C的坐标是C（，），
∴OC是∠AOB的角平分线，OC==7，
又∵OA=OB=3，
∴AB==6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3．
①当0＜t≤3时，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=•EF•OP=•2t•t=t²，
②当3＜t≤7时，设EF与AC交于G′，与BC交于H，
OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CHG′∽△CBA，
∴=，
即=，
∴HG′=（7-t），
∴S=S_{四边形OACB}-S_△CHG′=•AB•CO-HG′•CP
=×6×7-×（7-t）（7-t）
=-t²+t-，
∴s与t的函数关系式是：
S=．
当直线EF平分四边形OABC的面积时有：-t²+t-=××6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x₁=7+＞7（不符合题意舍去），x₂=7-，
故当t=7-时，直线EF平分四边形OABC的面积；

（3）①如图1，当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四边形OEQF是正方形，
∴OP=OQ=×=，
即t=时，△EFQ为直角三角形，
②如图2，当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，
同理可证：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2（t-），
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴=，
即=，
解得：t=5，
故当t=或t=5时，△EFQ为直角三角形．
分析：（1）根据AB与OC相交于点G，以及C点横纵坐标相等得出G点为AB中点，即可得出答案，再利用A，B两点坐标得出解析式即可；
（2）分别根据当0＜t≤3时，当3＜t≤7时，利用相似三角形的性质得出s与t的关系式即可；
（3）利用①当P在线段OQ上，且∠EQF=90°时，以及②当P在线段CQ上，且∠EQF=90°时，利用相似三角形的性质得出即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质得出对应边之间关系得出t的值是解题关键．