Question

9．抛物线F与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），对称轴为直线x=1，顶点C在直线y=x-5上，与y轴相交于点D（0，3）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）连结CD、BD，则线段BD与CD的数量关系和位置关系分别为BD⊥CD，BD=3CD；
（3）点P为直线CD上方抛物线F上的一个动点，PQ⊥CD，垂足为Q，若∠QPD=∠DBC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式确定顶点C的坐标为（1，-4），再设顶点式y=a（x-1）²-4，然后把D点坐标代入求出a的值即可；
（2）作CH⊥y轴于H，如图1，先判断△OBD为等腰直角三角形得到∠ODB=45°，BD=3$\sqrt{2}$，再判断△CDH为等腰直角三角形得到∠CDH=45°，CD=$\sqrt{2}$，所以BD⊥CD，BD=3CD；
（3）讨论：当点Q在点D在下方时，PD交BC于E点，如图2，利用∠DBC=∠QPD得到∠BCD=∠PDQ，则∠BDE=∠DBE，所以ED=EC=BE，于是可得到E（2，-2），易得直线DE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$可得P点坐标；当点Q在点D在上方时，如图3，先证明∠DCB=∠QDP，则PD∥BC，易得直线BC的解析式为y=2x-6，利用两直线平行问题可得直线PD的解析式为y=2x-3，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得此时P点坐标．

解答 解：（1）将x=1代入y=x-5得y=-4
∴顶点C的坐标为（1，-4）
设y=a（x-1）²-4，
把D（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1
∴抛物线解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵D（0，-3），B（3，0），
∴OB=OD，
∴△OBD为等腰直角三角形，
∴∠ODB=45°，BD=3$\sqrt{2}$，
∵C（1，-4），
∴CH=DH=1，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴∠CDH=45°，CD=$\sqrt{2}$，
∴∠BDC=90°
∴BD⊥CD，BD=3CD，
故答案为BD⊥CD，BD=3CD，

（3）①当点Q在点D在下方时，PD交BC于E点，如图2，
∵PQ⊥CD
∴∠PQD=∠BDC=90°
又∵∠DBC=∠QPD，
∴∠BCD=∠PDQ，
∴∠BDE=∠DBE，
∴ED=EC=BE，即E为BC的中点，
∴E（2，-2），
易得直线DE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，则此时P点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$）；
②当点Q在点D在上方时，如图3，
∵∠PQD=∠BDC=90°，∠DBC=∠QPD，
∴∠DCB=∠QDP，
∴PD∥BC，
易得直线BC的解析式为y=2x-6，
∴直线PD的解析式为y=2x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，则此时P点坐标为（4，5）；
综上所述，点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$），（4，5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组求二次函数与一次函数的交点坐标；理解坐标与图形性质；会应用分类讨论的思想解决数学问题．