Question

14．过反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上一点A作x轴的垂线交x轴于点B，O为坐标原点，且△ABO的面积S_△ABO=4．
（1）求k的值；
（2）若二次函数y=ax²与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象交于点C（-2，m），请结合函数图象写出满足ax²＜$\frac{k}{x}$的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点A的坐标为（n，$\frac{k}{n}$），根据坐标系中点的意义可用含n和k的代数式表示出△ABO的两条直角边OB和AB的长度，结合三角形的面积公式可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2）令x=-2，可求出m的值，即得出点C的坐标，将点C的坐标代入二次函数的解析式中求出a值，画出图形，结合图象即可得出结论．

解答 解：（1）设点A的坐标为（n，$\frac{k}{n}$），
∵AB⊥x轴，
∴OB=|n|，AB=|$\frac{k}{n}$|，
∵△ABO的面积S_△ABO=$\frac{1}{2}$OB•AB=-$\frac{k}{2}$=4，
∴k=-8．
（2）依照题意画出图形，如图所示．

令x=-2，y=$\frac{-8}{-2}$=4，
即点C的坐标为（-2，4）．
∵点C（-2，4）在二次函数y=ax²的图象上，
∴4=（-2）²a，解得：a=1．
结合图象可知：当-2＜x＜0时，y=-$\frac{8}{x}$的图象在y=x²的图象的上方，
∴满足x²＜-$\frac{8}{x}$的x的取值范围为：-2＜x＜0．

点评 本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据三角形的面积公式得出关于k的一元一次方程；（2）画出图象，数形结合解决不等式问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先由待定系数法求出函数解析式，再画出函数图象，最后利用数形结合解决不等式的问题．