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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为3,0,直线y=﹣x+3恰好经过B,C两点

1写出点C的坐标;

2求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标;

3点P在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为D且APD=ACB,求点P的坐标.

【答案】1C0,32y=x2﹣4x+3=x-1)(x-3对称轴为x=2,点A1,032,22,﹣2

【解析】

试题分析:1由直线y=﹣x+3可求出C点坐标;

2由B,C两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标;

3作出辅助线OE,由三角形的两个角相等,证明AEC∽△AFP,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标.

试题解析:1y=﹣x+3与y轴交于点C,故C0,3

2抛物线y=x2+bx+c过点B,C,

解得

抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=x﹣1×x﹣3

对称轴为x=2,点A1,0

3由y=x2﹣4x+3,

可得D2,﹣1,A1,0

OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,

可得OBC是等腰直角三角形,

∴∠OBC=45°,

如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,

AF=AB=1.

过点A作AEBC于点E.

∴∠AEB=90度.

可得

AEC与AFP中,AEC=AFP=90°,ACE=APF,

∴△AEC∽△AFP.

解得PF=2.

或者直接证明ABC∽△ADP得出PD=3,

再得PF=2.

点P在抛物线的对称轴上,

点P的坐标为2,22,﹣2

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