Question

15．如图，矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形．
（2）若AB=6，AD=9，则当AE为何值时，四边形BFDE为菱形．

Answer 1

分析 （1）由题意易得ED∥BF，AD=BC而AE=CF，那么可得到ED=BF，即可求证．
（2）结合菱形的四条边相等来求AE的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC且AD=BC．
又∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF，
由ED∥BF且ED=BF，
∴四边形BEDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．

（2）∵四边形BEDF为平行四边形
∴当BE=DE时，四边形BEDF为菱形
设AE=x，则BE=DE=9-x，在直角△ABE中：
x²+6²=（9-x）²，
则x=2.5．
∴当AE=2.5时，四边形BEDF为菱形．

点评 本题综合应用了平行四边形的性质和判定，矩形和菱形的判定．要根据条件合理、灵活地选择方法．