Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=

2

，又E，D为CB的三等分点．
（1）证明：△ADE∽△BDA；
（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AC=CD=DE=EB=

2

，∠C=90°，利用勾股定理易求AD=2，从而可求

DE

AD

=

DA

BD

=

2

2

，又∠ADE=∠BDA，那么可证△ADE∽△BDA；
（2）由于△ADE∽△BDA，利用形似三角形的性质可知∠DAE=∠B，再由三角形外角定义可知∠ADC=∠AEC+∠DAE，等量代换即可证明；
（3）在直角三角形ACD中，由AC与CE，利用勾股定理求出AE的长，根据AE与△ABE中AB边高的长，确定出PE的范围，即可得出PE为整数的点P的个数．

解答：（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=

2

，
又∠C=90°，
∴AD=2，
∴

DE

AD

=

2

2

，

DA

BD

=

2

2 2

=

2

2

，
∴

DE

AD

=

DA

BD

，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）证明：∵△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠B，
又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，
∴∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）解：∵点P为线段AB上一动点，
根据勾股定理得：AE=

AC2+CE2

=

10

，BE=

2

，
∴PE的最大值为

10

．
作EF⊥AB，则EF=

5

5

，则PE的最小值为

5

5

∴

5

5

≤EP≤

10

，
∵EP为整数，即EP=1，2，3，
结合图形可知PE=1时有两个点，
所以PE长为整数的点P个数为4个．

点评：本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形外角定义，如果两个三角形两组对应边成比例，且夹角相等则两三角形相似．