Question

8．已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，过点B的直线BE交直线AC于D，CE⊥BE于E．
（1）当BE平分∠ABC，求证：AB+AD=BC；
（2）BE转到△ABC外，平分∠ABC的一个外角，请画出图形，上述结果是否还成立，若成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1过D作DH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质得出∠HDC=45°=∠ACB，得出DH=CH，由角平分线的性质得出AD=DH，得出AD=CH，由HL证明Rt△ABD≌Rt△BDH，得出AB=BH，即可得出结论；
（2）延长CE交AB的延长线于F，由角平分线和三角形内角和定理得出∠F=∠BCF，由等角对等边得出BF=BC，证出∠F=∠D，由AAS证明△ACF≌△ABD，得出对应边相等AF=BD，再由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HDC=45°=∠ACB，
∴DH=CH，
∵BE平分∠ABC，
∴AD=DH，
∴AD=CH，
在Rt△ABD与Rt△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AD=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△BDH（HL），
∴AB=BH，
∴BC=BH+CH=AB+AD．
（2）解：如图2所示：
上述结果不成立；2AB•BC+BC²=AD²；理由如下：
延长CE交AB的延长线于F，
∵BE平分∠ABC的一个外角，
∴∠FBE=∠CBE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵∠BAD=∠BAC=90°，∠BEC=90°，
∴∠F+∠ACF=90°，∠D+∠ACF=90°，
∴∠F=∠D，
在△ACF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠D}&{\;}\\{∠CAF=∠BAD=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=AB+BF，BF=BC，
∴AB+BC=BD，
∵BD²=AB²+AD²，
∴（AB+BC）²=AB²+AD²，
∴2AB•BC+BC²=AD²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要画出图形，证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结论．