Question

如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线并相交于点O．
（1）若∠ABC=60°，∠C=70°，∠DAE和∠BOA的度数；
（2）若∠ABC=α，∠C=β（α＜β），请用含有α、β的代表式表示∠DAE=

1

2

（β-α）

．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠BAC=50°，由AD是高得到∠ADC=90°，则可计算出∠DAC=20°，再根据角平分线定义得到∠EAC=∠BAE=

1

2

∠BAC=25°，∠ABF=

1

2

∠ABC=30°，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO进行计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-α-β，由AD是高得到∠ADC=90°，则∠DAC=90°-β，根据角平分线定义得∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β），所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=

1

2

（180°-α-β）-（90°-β），然后整理即可．

解答：解：（1）∵∠ABC=60°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠EAC=∠BAE=

1

2

∠BAC=25°，∠ABF=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°；
∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°；

（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-α-β，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β），
∴∠DAE=

1

2

（180°-α-β）-（90°-β）=

1

2

（β-α）．
故答案为

1

2

（β-α）．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．