Question

在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C。
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D。
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值。

Answer 1

解：（1）C（-5，0）；
（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下： 如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且 OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠OAB=∠OBA ∴OA=OB，即AC=2OA=2OB=BD ∴四边形ABCD是矩形； ②如图，由①得四边形ABCD是矩形 ∴∠CBA=∠ADC=90° 又AB=CD=6，AC=10 ∴由勾股定理，得BC=AD==8 ∵，， ∴0≤t≤14 当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ ∵AP是直径， ∴∠PQA=90° 又∠PAQ=∠CAB， ∴△PAQ∽△CAB ∴， 即， 解得t=3.6 当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD ∴， 即t-6， 解得t=12， 综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为 3.6或12。