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已知关于x的方程x2+2kx+k2+2k-2=0.
(1)若这个方程有实数根,求k的取值范围;
(2)若这个方程有一个根为1,求k的值;
(3)若以方程x2+2kx+k2+2k-2=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=
mx
的图象上,求满足条件的m的最小值.
分析:(1)若一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b2-4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.
(2)将x=1代入方程,得到关于k的方程,求出即可,
(3)写出两根之积,两根之积等于m,进而求出m的最小值.
解答:解:(1)由题意得△=(2k)2-4×(k2+2k-2)≥0
化简得-4k+8≥0,解得k≤1.

(2)将1代入方程,整理得k2+4k-1=0,解这个方程得 k1=-2+
5
,k2=-2-
5


(3)设方程x2+2kx+k2+2k-2=0的两个根为x1,x2
根据题意得m=x1•x2
又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2+2k-2,
那么m=k2+2k-2=(k+1)2-3,
所以,当k=-1时,m取得最小值-3.
点评:一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,是一个综合性的题目,也是一个难度中等的题目.总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;(2)△=0?方程有两个相等的实数根;(3)△<0?方程没有实数根.
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